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15-Puzzle
                                     

15-Puzzle

Der 15-Puzzle, fünfzehn Spiel, das 14-15-Puzzle, slide puzzle, sliding puzzle, Schiebefax oder Ohne-harte Arbeit-Spiel genannt, ist ein Spiel der Geduld. Es erfunden wurde zwischen 1870 und 1880 in den Vereinigten Staaten aus dem post-Mitarbeiter von Noyes Palmer Chapman. Das Spiel besteht aus 15 Kacheln, von 1 bis 15 zahlen, in der Reihenfolge, montiert sind, die auf den 16 Feldern eines Vier-by-four-Platz. Ein Feld bleibt frei. Eine benachbarte Kachel kann in der Zukunft sein. Die Aufgabe ist nun, Bewegen Sie die Fliesen mit den Nummern von 1 bis 15 in aufsteigender Reihenfolge zu ordnen.

Je nach Ausgangslage gibt es verschiedene Variationen des Spiels, insbesondere die 14-15-Puzzle, die in der anfänglichen position, nur die Zahlen 14 und 15 vertauscht, so dass die Rätsel unlösbar sind. Die heutigen Editionen des Spiels sind in der Regel in der gewünschten Anordnung, bewegt sich Der Spieler "mischt" die Fliesen zuerst, und dann versucht, das Puzzle wieder in die geordnete Ausgangsposition. Bei dieser Variante des Spiels ist daher gewährleistet, dass die Aufgabe lösbar ist.

                                     

1. Geschichte. (History)

Das Spiel wurde erfunden von den post-Beschäftigten, Noyes Palmer Chapman, der zeigte seinen Freunden im Jahr 1874 ein ähnliches Puzzle. Dies bringe, 16 nummerierte Blöcke in die Form eines magischen Quadrates. Die ersten Kopien des 15-Puzzles kam nach Syracuse im Staat New York, Frank Chapman, der Sohn von Noyes. Von dort aus, das Spiel hat sich weiter verbreitet, nach Watch Hill, und schließlich nach Hartford in Connecticut, wo die Schüler der amerikanischen Schule für Gehörlose gerechtfertigt das Puzzle in der großen Auflagen und im Dezember 1879 als Weihnachtsgeschenke in Boston, Massachusetts verkauft. Matthias Reis, der Besitzer eines shop für ausgefallene Holz-Objekte, vor eines dieser Rätsel, und fing an, diese sofort und bringen als "Gem-Puzzle" auf den Markt.

Die 15 Spielsteine oder Fliesen waren lose in einer kleinen Box und die Spiel-Handbuch wurde:" Legen Sie die Blöcke in die box unregelmäßig, bewegen Sie dann bis in die regelmäßige Ordnung ".

Gegen Ende Januar 1880 einen Preis der Zahnarzt Charles Pevey Geld für die Lösung der 15-puzzle. Der erste Trend für das Spiel in den USA im Februar, um zu sehen, in Kanada im März und in Europa im April 1880. Der Trend war bereits im Juli des gleichen Jahres, aber im Herbst wieder. Nur neun Jahre später, das Spiel wurde in Japan.

Chapman, der 15-Puzzle am Mai 21, wollte. Im Februar 1880 als "Block Solitaire Puzzle" Patent anmelden, stieß an das Patentamt aber abgelehnt, weil sein Spiel ist nicht ausreichend, am 20. August schien zu unterscheiden 1878 Patent erteilt, Ernest U. Kinsey entwickelte Spiel "Puzzle-Blöcke".

Der puzzle-Spezialist Samuel Loyd behauptete, von 1891 bis zu seinem Tod im Jahre 1911, dass der Erfinder dieses puzzle, das belegen könnte, aber nie. Neuere Untersuchungen, er war entlarvt, auch als Lügner. Während des Ersten Weltkrieges, den 15 produziert wurde-er Puzzle "Geduldspiel für den Schützengraben".

                                     

2.1. Aufgaben. Original Puzzle

Die "Gem-Puzzle", die hergestellt Matthias Reis 1879 und verkauft, nahm die Spieler am Anfang der Steine und platziert Sie beliebig in die Box. Dann war die Aufgabe um die Steine zu Bewegen die Zahlen in jeder Zeile angeordnet sind, in aufsteigender Reihenfolge. Die folgenden mathematischen Beziehungen Ergebnis:

  • Im Falle eines start-Anordnung, die eine Sequenz mit dem leeren Feld oben Links erreichbar ist, können Sie bringen eine Sequenz mit dem leeren Feld rechts unten, nur so nah, dass nur zwei der fünfzehn Blöcke sind in den falschen Positionen.
  • Es sind 16! = 20922789888000 ≈ 2.1 ⋅ 10 13 möglich starten Regelungen der Permutationen der Zahlen 1 bis 16, in dem das leere 16-te Feld ist nicht sitzen rechts unten.
  • Durch Verschieben der Steine in die andere Hälfte der start-up-Baugruppen platziert werden kann, in eine Reihenfolge mit dem leeren Feld oben Links.
  • Durch Verschieben der Steine genau die Hälfte aller Start-up-Konfigurationen in aufsteigender Reihenfolge der Sequenz mit dem leeren Feld unten rechts gebracht werden.

Für andere Ziel-Konfigurationen, können wir bestimmen, die folgenden Fakten:

Lässt sich eine bestimmte Anordnung erreichen, so ist
  • Die horizontal oder vertikal gespiegelte Anordnung nicht erreicht werden kann.
  • Die 180° - gedrehte Anordnung ist auch zugänglich.
  • Die Diagonal gespiegelten Anordnung zugänglich.
  • Die 90° nach rechts oder Links gedreht Anordnung nicht erreicht werden kann.
  • Eine Anordnung, in der nur zwei benachbarte Edelsteine kann Umgekehrt werden, nicht erreicht werden kann.
                                     

2.2. Aufgaben. 14-15-Puzzle. (14-15 Puzzle)

Eine weitere Möglichkeit ist die Erreichung der geordneten Sequenz, die Lücke in der unteren rechten von bestimmten anderen Anordnungen, zum Beispiel:

                                     

2.3. Aufgaben. Modernes 15-Puzzle. (Modern 15-Puzzle)

Viele der Spiele, die heute verfügbar sind, sortiert in den Auslieferungszustand, und Ihre Steine sind miteinander verzahnt, so dass Sie können es verschieben, aber nicht entfernen Sie es. Das Ziel des Spiels ist es daher, zu ermöglichen, ein gemischtes Puzzle wieder in den ursprünglichen Zustand.

Im Handel finden Sie viele Formen von diesem Spiel. So gibt es zum Beispiel als Schlüsselanhänger aus Kunststoff oder Holz.

Es gibt auch Spiele, die Sie kann nicht zum Ziel haben, die zum Sortieren von Zahlen, aber von einem Bild, dies ist nur zu sehen, wenn alle Quadrate sind sortiert in der richtigen Reihenfolge.

Es gibt Versionen mit Buchstaben oder Gruppen von Buchstaben anstelle von Zahlen. Hier soll erreicht werden, die als Lösung entweder in alphabetischer Reihenfolge oder sollte es ein bestimmter Text. Letztere haben oft ein Paar oder auch mehrere die gleichen Fliesen-d.h. mit dem gleichen Buchstaben. Es kommt zu einer Situation, wo nur die letzten beiden Kacheln vertauscht sind, so dass Sie wechseln ein Paar den gleichen Buchstaben, um die Aufgabe zu lösen. Beispielsweise ist in der Abbildung "text-version" das abgebildete Spiel in der unteren Zeile "Prsei" anstelle von "Preis", so müssen Sie e entweder von den beiden ", zwei "n", oder! die beiden "ei" exchange.

Im Falle der Vertretung durch römische Ziffern den Grad der Schwierigkeit erhöht sich aufgrund der in der Regel ärmeren Übung in der Reihenfolge der zahlen.



                                     

2.4. Aufgaben. Magische Quadrate. (Magic Squares)

Eine weitere Aufgabe für das 15-Puzzle mit Zahlen, ist der transfer der üblichen Start-Anordnung, mit dem leeren Feld rechts unten in einem magischen Platz, wo der leere steht für die Zahl 0. Die Magische Summe, D. H. die Zeile, Spalte und diagonalen die Summe 30 ist. Unter Berücksichtigung von Drehungen oder Spiegelungen des Quadrats, es gibt 880 ⋅ {\displaystyle \cdot } 8 = 7040 Magische Quadrate auf einem 4x4-Feld. Von dieser Hälfte, also der 3520 ist einfach zu erreichen von den üblichen Start-Anordnung. Kociemba spezifisch für jedes dieser magischen Quadrate ist die minimale Anzahl von Zügen, die ausgehend von der Start-Anordnung erforderlich ist. Sie müssen mindestens 35 Züge, um ein Magisches Quadrat, und es gibt nur ein Magisches Quadrat, das ist in 35 Weg bewegt.

                                     

3.1. Mathematischer Hintergrund. Permutationen und Invarianten. (Permutations and invariants)

Jede position des Spiels ist es, entweder sbar oder nicht-sbar, das heißt, Sie können übertragen werden, in der Endlage ist oder nicht. Der Nachweis der sogenannten Parität wird als eine beliebige position. Wenn ein Zug wird immer beibehalten. Die Parität ist die Anzahl der ungeordneten Paare von zahlen. Hier, N 1 {\displaystyle N_{1}} ist die Anzahl der Paare von zahlen, die sind in der falschen Reihenfolge, und N 2 {\displaystyle N_{2}} die Nummer der Zeile, in der die leere box. Die Summe N = N 1 N 2 {\displaystyle N=N_{1} N_{2}} ist entweder gerade oder ungerade. Bei allen rechtlichen bewegt, dieses Verhältnis bleibt das gleiche, das ist, gerade in dem Spiel kann niemals eine ungerade umgewandelt, und Umgekehrt. Da die ursprüngliche Aufgabe, die ungerade ist, kann es niemals dazu führen, in der gerade in den letzten Stand.

Ein weiterer Beweis Idee, verwendet das Vorzeichen der Permutation, also als eine permutation, die als position ändert sich mit jedem Zug das Vorzeichen.



                                     

3.2. Mathematischer Hintergrund. Beispiel. (Example)

Um zu überprüfen, ob eine Konstellation der Steine, die durch erlaubte Züge können auf ein anderes übertragen werden, ist zu unterscheiden zwischen frame-Größen mit geraden, wie die vorliegende, und jene mit einer ungeraden pixel-Spalte-Zahl. Die grundlegende Voraussetzung ist, dass die Plätze nummeriert sind, in der Weise gezeigt ist, oder im Fall von Rätsel, dessen Lösung liegt in der Schaffung eines Bildes, für den Beweis sind nummeriert. Im Fall von Puzzles, die es erlauben, mehrere Lösungen, wie die Symbole angeordnet werden, nach bestimmten Regeln, ist zu beweisen, dass keiner der Varianten der Lösung kann erreicht werden durch erlaubte Züge.

Für die Bestimmung der Störung der parameter, N ist 1, es gilt alle Paare von zahlen, wobei eine kleinere Zahl eine größere folgt, egal wie viele Stücke, die dazwischen liegen, die absolute Größe der Zahlen ist irrelevant, die Zahlen erscheinen in mehreren Paaren. Verglichen werden die Steine, als wären Sie aufgeführt, die in einer horizontalen Reihe. Im Falle einer Konstellation, zum Beispiel, 1, 4, 2, 6, 7, 8, 3, 5 so gibt es die folgenden Paare 2/4, 3/8, 3/7, 3/6, 3/4, 5/8, 5/7, 5/6. Sie Durchlaufen von Links nach rechts und eine Anzahl von verglichen mit all den Links Zahlen. Sobald die linke Zahl größer ist, dann wurde zu einem chaotischen Paar.

Ein Stein in horizontaler Richtung verschoben wird, weder von der Störung parameter, N 1 die Anzahl der Parameter ist N 2, da kann man interpretieren, diese Bewegung als Ersatz der beweglichen Stein auf das freie Feld wird nicht berücksichtigt bei der Berechnung der Störung parameter.

Ein Stein in der vertikalen Richtung verschoben wird, ändert sich die Anzahl der Parameter N ist 2 - / − 1. Die vertikale Verschiebung ist immer genau drei Paare von zahlen, weil es kann nur Änderungen in der Vorgehensweise zwischen dem verschobenen Stein und den drei geschlossenen Bereichen. Es erhöht sich für jede der geschlossenen Stein der Störung parameter auf 1 oder kleiner ist, weil die vertauscht zu bewegen, den Stein an seinen Platz, jetzt hat sich alles geändert der Paare, die gebildet wurden, mit der Verschiebung Stein, Ihre feine. Unordentlichen Paare sind nun normale, und Umgekehrt.

N am Anfang war es nur N=4. Da die Anzahl der Parameter N 2 ist, jedem vertikalen Schritt, kann eine sonderbare Modifikationen von 1, -1 und die Reihenfolge der parameter N ist 1, dann nur eine ungerade Veränderung Erfahrungen 3, 1, -1, -3, N kennen nur eine gerade Änderung 4, 2, 0, -2, -4. Es ist also nicht möglich, aus dem ursprünglichen Satz von Aufgaben, die 15, 14 ausgetauscht wird in eine Reihenfolge sortiert, weil die ursprüngliche Ordnung von N = 5 hat eine ungerade Parität hat und nicht mit dem Verschieben von Steinen in eine gerade Parität umgesetzt werden kann.

                                     

3.3. Mathematischer Hintergrund. Im Allgemeinen Fall. (In The General Case)

In einem a × ein großes Puzzle mit einer ungeraden pixel Anzahl Spalten ein, die Anzahl der Gefangenen Steine a2−1 und mit einem vertikalen Zug um eine gerade Zahl eine gerade Zahl ist, die Störung parameter-änderungen mit einer horizontalen Reihe. Die Parität der Störung parameter, N 1 bleibt bei jedem Zug.

In einem a × ein großes Puzzle mit geradzahligen Spalte Anzahl der ein wie dem vorliegenden, ist die Anzahl der Gefangenen Steine a2−1, also eine ungerade Anzahl, wird die Störung parameter N 1 die änderungen mit einem vertikalen Zug um eine ungerade Zahl. Die Bandbreite der parameter N 2 erhöht oder vermindert sich mit jeder vertikalen Zug 1, N 1 N 2 ist die Summe von zwei ungerade und damit gleich. Die Parität von N 1-N 2, die mit jedem Zug.

Da die Parität von N-1 im Fall einer ungeraden pixel oder N 1 N 2 im Fall von geraden bleibt die Spalte Anzahl ist immer gewonnen, es kann untersucht werden, durch eine einfache Zählung, ob eine zufällige Konstellation von K 1 übertragen werden können, werden in eine bestimmte Konstellation, K 2 durch erlaubte Züge. Im Fall der klassischen Aufgabe des 15-Puzzles ist das nicht möglich, wie im Fall der geradzahligen Spalte Zahl a=4 die Summe N 1 N 2=1 4=5 in N 1 N 2=0 4=4 überführt werden müsste.

Darüber hinaus werden diese Überlegungen zeigen, dass mehr als die Hälfte aller denkbaren Konstellationen erreicht werden können, von der grundsätzlichen Konstellation, denn nur arrays von geraden umgewandelt werden können in geraden oder ungeraden in ungeraden Parität. Als die Geschichte im Jahr 1879 zeigte, ist nicht von der grundkonstellation genau diese Hälfte immer erreichbar, was kann der hier Vorgestellte Beweis ist nicht erkannt, da die Parität lediglich eine notwendige, aber eine hinreichende Bedingung für die Allgemeine Lösbarkeit. Ein modernes und elegantes, und der Nachweis, dass alle Konstellationen umgewandelt werden kann, von einer geraden Parität ist eigentlich mesh und auch alle Konstellationen mit ungerade Parität in einander umgewandelt werden können, gab Archer im Jahr 1999. Im folgenden Kapitel diskutierten Algorithmen für das 15-Puzzle demonstrieren diese Tatsache.

                                     

4. Algorithmen und Komplexität. (Algorithms and complexity)

Schiebe-puzzle, wie das 8-Puzzle und 15-Puzzle wurden seit der lange als testproblem für Suchalgorithmen in der Künstlichen Intelligenz. Wie Brüngger et al. Im Jahr 1999, einen Intel-Paragon-Parallelrechner mit 64 Knoten zeigte, erfordert die Lösung des 15-Puzzles für alle Start-Vereinbarungen zu einem maximum von 80 Schritte. Korf und Schultze gewisse 2005 durch eine Breite-zuerst-Suche, und mit einem parallel-computer für jede der 16! / 2 = 10.461.394.944.000 sbar Start-arrangements, die minimale Anzahl der Schritte für die Lösung. Insbesondere für die erste Zeit, alle 17 Start-UPS, aufgelöst in 80 Schritten und nicht weniger. Eine nach dem Zufallsprinzip ausgewählte, lösbare Ausgangskonfiguration im ein Durchschnitt von 52.6 Zügen zu lösen. Um zu vermeiden, Speicher-Fehler – nach allem, 8 ⋅ {\displaystyle \cdot } 10 14 Bits ≈ schreiben 100 Terabyte und zu Lesen – wird von Korf und Schultze ein RAID-System.

Ratner und Warmuth, bewies 1990, dass das verallgemeinerte Problem, die minimale Anzahl von Zügen, die von einer lösbaren Start-Anordnung in einer n x n Spiel zu sein, die NP-schwer.

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